Also pass auf, PHP kannste mit einer Kettenreaktion vergleichen. Wenn du eine PHP-Seite auf einem Webserver aufrufst, dann startet PHP je nach verwendeten Funktionen (bei Foren dürften das seeeeeeeehr viele sein) relativ viele Threads , damit es die Dinge parallel ausführen kann und nicht nacheinander tun muss.
Soweit so gut. Die Fehlermeldung im ersten Post Deines Forums rührt daher, dass der Server keinen Arbeitsspeicher mehr frei hat um einen/mehrere Threads zu erzeugen, um zum Datenbankserver zu verbinden, somit schlägt die Verbindung fehl.
Die zweite Fehlermeldung scheint eine ähnliche/gleiche Ursache zu haben (ich nehme an, Du hast bei der PHPBB-Installation als MySQL-Server "localhost" angegeben, dann geht das alles über einen Rechner).
Eine konkrete Lösung dafür kann ich Dir nicht anbieten, da das auf der Seite Deines Hosters liegt, solche Probleme zu lösen, bzw. alles dafür zu tun, dass derartige Probs garnicht erst auftreten.
mfg,
ulli