Da du hier an dem Unfall keine Schuld hattest läuft dies ja natürlich über die Haftpflichtversicherung des Unfallgegners.
Ich würde an Deiner Stelle zu einem Gutachter gehen. Das Gutachten wird die gegnerische Versicherung übernehmen; der Gutachter wickelt das direkt mit denen ab; du bekommst davon bis auf das Gutachten nichts mit.
Vorteil beim Gutachter ist, dass dieser ebenfalls eine mögliche Wertminderung mit einkalkuliert. Wo du dann das Auto letztendlich reparierst, bzw. ob du es reparierst ist Dir dann überlassen.
Achja..und auf keinen Fall einen Gutachter der gegnerischen Versicherung nehmen; die schwatzen gerne einen auf, der dann natürlich im Sinne der Versicherung kalkuliert.
Bei der HUK musst du nichts melden, wenn der Unfallgegner die Schuld zugegeben hat.
Hatte einen ähnlichen Vorfall nur etwas heftiger vom Aufprall vor über einem Jahr und war froh einen unabhängigen Gutachter eingeschaltet zu haben.