Welche Daten soll die Firma davon haben? Deinen Namen etc. haben die ohnehin. Außerdem stehen auf dem Führerschein ohnehin fast keine Persönlichen Daten drauf. Außer der Information, daß Du einen Führerschein hast, erfahren die nix. Also im Grunde kein großes Problem.
Ich denke, ja die können. Wenn man mal die Paranoia umdreht, kann die Firma ja sagen, daß Du im Falle einer Polizeikontrolle, sagen könntest, daß Du keinen Schein hast, und Du vom Chef gewissermaßen gezwungen wurdest trotzdem zu fahren. zB um im Falle eines Verkehrsverstoßes Dich da rauszumogeln. Dann kann der Chef beweisen, daß Du einen Führerschein vorgelegt hast. Da ist ein einfaches Autogramm, daß irgendein Mitarbeiter den Schein gesehen hat, nicht unbedingt ausreichend.