Mathematik Konvergenzproblem

    Hi,
    supersiggi: Einfach zu sagen, dass Majorantenk. oder Minorantenkriterium nicht funktionieren ist ja nicht korrekt. Das Minorantenk. (ich red jetzt mal nur von dem, weil ich immer noch steif und fest behaupte, dass das Ding divergiert) funktioniert so wie du es sagst nicht, weil du beim abschätzen zu viel "verschenkst"... Das ist ja grade der Trick daran. Man schätzt gegen etwas ab, was kleiner ist und trotzdem divergiert... Es muss irgendwie mit dem Minorantenkrit. gehen, weil wir in HöMa I noch gar nix anderes dazu gelernt haben, ausser eventuel Wurzel- und Quotientenkrit. aber die liefern nur Terme, die wie du schon sagst unüberschaubar sind...


    n3o, der froh ist, dass es die anderen auch nicht können ;)

    n3o - das Versagen der Vergleichkriterien gilt natürlich nur für die von mir genannten Abschätzungen - das sind keine allgemeinen Aussagen.


    So viel "verschenke" ich dabei gar nicht, klar geht noch weniger, dann wird die Sache aber recht kompliziert und nicht mehr so leicht überschaubar und das ist ja eigentlich das, was die vergleichskriterien so interessant macht.


    Ich hab (musste) HöMa I-III hören (Uni-Do) und viel mehr Möglichkeit für die Beweise gibt es nicht wirklich. Das ist alles ein wenig "tricky" - mit den richtigen Ansätzen kann man fast alles beweisen, die muss man aber erst haben....

    mfg supersiggi

    perceptron: Deine Perzeptivität in allen Ehren, aber findest Du nicht, daß Dein "Mann, das sieht man doch auf den ersten Blick!" doch etwas arrogant herüber kommt? Daß DU es siehst wissen wir jetzt, aber dann müßtest Du das auch neo und dem Rest der Welt vermitteln können!


    Zu deinem Quotientenkriterium:

    Zitat

    Original erstellt von perceptron


    Auf jeden Fall würde ich Dir zustimmen: Zähler Z = ³√( [ (n+1)+1 ] / (n+1) ) - 1 = ³√( 1 + 1/(n+1) ) - 1 ist kleiner als Nenner N = ³√( [ n+1 ] / n ) - 1 = ³√( 1 + 1/n ) - 1. Dann würde Z / N < 1 theoretisch auch für lim(n–›∞) Z / N = q < 1 zutreffen. Aber der Abstand von q zu 1 ist eben infinitesimal klein...


    Was mir hier auch noch Kopfschmerzen bereitet ist deine untere Gleichung, wo Du den Limes für Z und N getrennt auszurechnen vorschlägst: Zwar ist lim(n–›∞) Z = 0, aber auch lim(n–›∞) N = 0 , und eine Division durch Null darf ich mir auch bei 0 / 0 nicht erlauben...

    Hi,


    langsam können wir ja Wetten eingehen, dass das Ding divergiert ;)
    Nochmal zu dem Quotientenkrit.
    Nach der "Rechnung" müsste ja auch n/(n+1) im lim kleiner eins sein. Teile ich N und Z durch n, dann habe ich aber 1/(1+1/n) da stehen, das aber ja bekanntlich genau gegen 1 geht, womit das Quotientenkriterium für die REIHE 1/n keine klare Aussage bringt, weil das Quotientenkrit. für die REIHE 1/n² ebenso 1 ergibt wie ihr euch schnell nachrechnen könnt, sum(1/n²) aber konvergiert und sum(1/n) divergiert...


    Es nützt halt nix, einen Beweis von dem Ganzen konnte ich noch nicht finden, wenn ich ihn hab, werde ich ihn euch nicht vorenthalten ;)


    n3o.

    Zitat

    Original geschrieben von Modi
    Was mir hier auch noch Kopfschmerzen bereitet ist deine untere Gleichung, wo Du den Limes für Z und N getrennt auszurechnen vorschlägst: Zwar ist lim(n–›∞) Z = 0, aber auch lim(n–›∞) N = 0 , und eine Division durch Null darf ich mir auch bei 0 / 0 nicht erlauben...


    Hmm, bei L'Hospital aber schon...

    Zitat

    Original geschrieben von Modi
      perceptron: Deine Perzeptivität in allen Ehren, aber findest Du nicht, daß Dein "Mann, das sieht man doch auf den ersten Blick!" doch etwas arrogant herüber kommt? Daß DU es siehst wissen wir jetzt, aber dann müßtest Du das auch neo und dem Rest der Welt vermitteln können! [...]


    :o Ja, Du hast recht, klingt so, sollte es aber nicht. Manchmal ist man genervt und überträgt seine schlechte Laune auch in andere Bereiche des Lebens, die davon nicht betroffen sind. Übrigens steht ein "perceptron" nicht mit meiner Perzeptivität im Zusammenhang. ;)


    Zum Thema:


    n3o hat "die Wette gewonnen"! Die Reihe divergiert tatsächlich.


    Ich habe am Wochenende - mich hat das Problem wohl nicht in Ruhe gelassen - meine alten Vorlesungsunterlagen aus dem Keller geholt und mir noch mal das Kapitel zu den Reihen angeschaut. Zwar führt das Quotientenkriterium a(Index: n+1) / a(Index: n) zu einem q kleiner 1, jedoch ist dies nicht hinreichend, weil keine feste Zahl q < 1 existiert, so dass gilt: a(Index:n+1) / a(Index: n) <= q.


    Der Divergenznachweis ergibt sich durch die Abschätzung:


    a1: 0,259921049895
    a2: 0,144714242553
    a3: 0,100642416298
    a4: 0,077217345016
    a5: 0,062658569183
    a6: 0,052726599609
    a7: 0,045515917149
    a8: 0,040041911526


    a3+a4 > 2*a4
    a5+a6+a7+a8 > 4*a8
    ...


    Und das ganze noch mal mit "Maple" bestätigt:



    Wer sich nicht damit auskennt: Wäre die Reihe konvergent, stünde statt der Summenformel ein konkreter Wert in blau.

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